حل تمرین صفحه 135 ریاضی یازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه 136 - فعالیت 1 هدف این تمرین تسلط بر **قوانین محاسباتی حد** (جمع، تفریق، ضرب، تقسیم و توان) با استفاده از داده‌های استخراج شده از نمودار توابع است. دانش‌آموز یاد می‌گیرد که چگونه حد هر تابع را به طور مستقل در یک نقطه بررسی کرده و سپس آن‌ها را با هم ترکیب کند. **گام ۱: استخراج حدهای پایه از نمودارها** با بررسی نمودار تابع $f$ در تصویر: - $\lim_{x \to 3} f(x) = 2$ (نمودار از هر دو طرف به عرض ۲ میل می‌کند، اگرچه خود نقطه توخالی است). - $\lim_{x \to -1} f(x)$ وجود ندارد (حد چپ ۲ و حد راست ۱ است). - $\lim_{x \to 0} f(x) = 1.5$ (تقریبی). با بررسی نمودار تابع $g$ در تصویر: - $\lim_{x \to 3} g(x) = 5$ (نمودار در همسایگی ۳ روی عرض ۵ ثابت است). - $\lim_{x \to -1} g(x) = -1$ (حد چپ و راست برابرند، اگرچه خود نقطه پر در جای دیگری است). - $\lim_{x \to 2} g(x)$ وجود ندارد (حد چپ ۳.۵ و حد راست -۱ است). - $\lim_{x \to 0} g(x) = 0$ (نمودار از مبدأ می‌گذرد). **گام ۲: محاسبه حدهای خواسته شده** **الف)** $\lim_{x \to 3} f(x) = 2$ **ب)** $\lim_{x \to -1} f(x)$ به دلیل نابرابری حد چپ و راست **وجود ندارد**. **پ)** $\lim_{x \to 3} g(x) = 5$ **ت)** $\lim_{x \to 3} (f(x) + g(x)) = \lim f + \lim g = 2 + 5 = 7$ **ث)** $\lim_{x \to -1} (f(x) + g(x))$ چون حد $f$ در این نقطه وجود ندارد، حد مجموع نیز **وجود ندارد**. **ج)** $\lim_{x \to 2} (2f(x) + 5g(x))$ چون حد $g$ در نقطه ۲ وجود ندارد، این حد نیز **وجود ندارد**. **چ)** $\lim_{x \to 0} (f(x))^4 = (1.5)^4 = 5.0625$ **ح)** $\lim_{x \to 0} (g(x))^2 = (0)^2 = 0$ **خ)** $\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{g(x)}$ چون حد مخرج در نقطه ۲ وجود ندارد، حد کسر **وجود ندارد**. **د)** $\lim_{x \to 5} (f(x) \cdot g(x)) = 5 \times 5 = 25$ (با توجه به روند صعودی $f$ و ثابت بودن $g$ در آن ناحیه). **جمع‌بندی آموزشی:** برای وجود حد در ترکیب توابع، باید تک‌تک توابع تشکیل‌دهنده در آن نقطه دارای حد باشند.